Differentiation (Part-38) | S N De

Random Variable and Its Distribution

দৈব চলক ও তার বণ্টন: গল্প, উদাহরণ, সারণি ও সহজ সূত্রের সাহায্যে শেখা

সহজ বাংলা নোট | Mathematics | Probability

তুমি কি কখনও কয়েন ছুড়ে দেখেছ, Head না Tail ওঠে? অথবা পাশা ছুড়ে দেখেছ, ১, ২, ৩, ৪, ৫ না ৬ ওঠে? এই ঘটনাগুলোর ফল আগে থেকে নিশ্চিতভাবে বলা যায় না। তাই এগুলোকে দৈব পরীক্ষা বা Random Experiment বলা হয়।

এই অধ্যায়ে আমরা শিখব কীভাবে এই অনিশ্চিত ফলগুলিকে সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা যায় এবং প্রতিটি ফল পাওয়ার সম্ভাবনা কীভাবে হিসাব করা যায়। এই ধারণাগুলির নাম হলো Random Variable and Its Distribution।

১. Random Experiment কী?

যে পরীক্ষার ফল আগে থেকে নিশ্চিতভাবে বলা যায় না, তাকে Random Experiment বা দৈব পরীক্ষা বলে।

উদাহরণ ১: একটি কয়েন ছোড়া

একটি কয়েন ছুড়লে দুটি ফল হতে পারে:

• H = Head
• T = Tail

কয়েন ছোড়ার আগে আমরা নিশ্চিতভাবে জানি না কোনটি উঠবে। তাই এটি একটি Random Experiment।

উদাহরণ ২: একটি পাশা ছোড়া

একটি সাধারণ পাশা ছুড়লে ১, ২, ৩, ৪, ৫ অথবা ৬ উঠতে পারে। কোন সংখ্যাটি উঠবে, তা আগে থেকে নিশ্চিত নয়।

২. Random Variable বা দৈব চলক কী?

নামটি একটু কঠিন মনে হলেও ধারণাটি খুব সহজ।

Random Variable হলো এমন একটি নিয়ম, যার সাহায্যে Random Experiment-এর প্রতিটি সম্ভাব্য ফলকে একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা দেওয়া হয়। একে বাংলায় দৈব চলক বলে।

সহজভাবে মনে রাখো: দৈব পরীক্ষার ফলকে সংখ্যায় প্রকাশ করার নিয়মই হলো Random Variable।

উদাহরণ: একটি কয়েন ছোড়া

আমরা একটি নিয়ম তৈরি করলাম:

• Head উঠলে X = 1
• Tail উঠলে X = 0

কয়েনের ফল	X-এর মান
Head (H)	1
Tail (T)	0

এখানে X হলো Random Variable। কারণ এটি কয়েনের ফলের সঙ্গে একটি সংখ্যা যুক্ত করছে।

আরও একটি উদাহরণ: দুটি কয়েন ছোড়া

দুটি কয়েন একসঙ্গে ছুড়ে X-কে মোট Head-এর সংখ্যা হিসেবে ধরা হলো।

ফল	Head-এর সংখ্যা (X)
TT	0
HT	1
TH	1
HH	2

দেখো, এখানে X-এর সম্ভাব্য মান হলো ০, ১ ও ২।

মনে রাখবে: Random Variable-কে সাধারণত X, Y বা Z দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এর সম্ভাব্য মানগুলি হলো সেই সংখ্যাগুলি, যেগুলি চলকটি গ্রহণ করতে পারে।

৩. Discrete Random Variable কী?

যে Random Variable-এর সম্ভাব্য মানগুলি গুনে গুনে লেখা যায়, তাকে Discrete Random Variable বা বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। এই মানগুলির সংখ্যা সীমিত হতে পারে অথবা অসীম হলেও একটির পর একটি গুনে সাজানো যেতে পারে।

উদাহরণ:

• একটি কয়েনে Head-এর সংখ্যা: ০ অথবা ১
• দুটি কয়েনে Head-এর সংখ্যা: ০, ১ অথবা ২
• একটি পাশার উপরের পিঠের সংখ্যা: ১, ২, ৩, ৪, ৫ অথবা ৬
• এক ঘণ্টায় টেলিফোনে আসা কলের সংখ্যা: ০, ১, ২, ৩, ...

এগুলি Discrete Random Variable-এর উদাহরণ।

অন্যদিকে, কোনও ছাত্রের উচ্চতা ১৫০.২ সেমি, ১৫০.২৫ সেমি বা ১৫০.২৫১ সেমি হতে পারে। নির্দিষ্ট একটি পরিসরের মধ্যে উচ্চতার সম্ভাব্য মানগুলি অসংখ্যভাবে চলতে পারে। তাই উচ্চতার মতো চলক সাধারণত Continuous Random Variable-এর উদাহরণ।

৪. Probability বা সম্ভাবনা কী?

কোনও ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে Probability বলে। এর মান ০ থেকে ১-এর মধ্যে থাকে।

• সম্ভাবনা ০ হলে ঘটনাটি অসম্ভব।
• সম্ভাবনা ১ হলে ঘটনাটি নিশ্চিত।
• সম্ভাবনা ১/২ হলে সমান সম্ভাবনাযুক্ত দুটি ফলের মধ্যে একটি ঘটার সুযোগ থাকে।

যদি সব ফলের সম্ভাবনা সমান হয়, তাহলে:

P(কোনও ঘটনা) = অনুকূল ফলের সংখ্যা ÷ মোট সম্ভাব্য ফলের সংখ্যা

উদাহরণ: একটি সুষম কয়েন ছোড়া

Head পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২

Tail পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২

কারণ দুটি ফলের সম্ভাবনা সমান।

৫. Probability Function বা Frequency Function কী?

এবার আমরা শিখব Random Variable-এর প্রতিটি মানের সঙ্গে তার সম্ভাবনাকে কীভাবে যুক্ত করা হয়।

ধরা যাক, একটি Discrete Random Variable-এর নাম X। X-এর কোনও নির্দিষ্ট মান x হওয়ার সম্ভাবনাকে লেখা হয়:

f(x) = P(X = x)

এখানে:

• X: Random Variable
• x: X-এর একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্য মান
• P(X = x): X-এর মান x হওয়ার সম্ভাবনা
• f(x): সেই সম্ভাবনা প্রকাশ করার নিয়ম বা ফাংশন

এই ফাংশনকে Probability Function, Probability Mass Function (PMF) অথবা অনেক পাঠ্যবইয়ে Frequency Function বলা হয়। এখানে Frequency Function বলতে সম্ভাবনা-নির্ভর ফাংশনকেই বোঝানো হচ্ছে, সাধারণ গণনার Frequency-কে নয়।

Probability Function-এর দুটি প্রধান শর্ত

শর্ত ১: প্রতিটি সম্ভাবনা শূন্য বা তার চেয়ে বড় হতে হবে।

f(x) ≥ 0

শর্ত ২: সব সম্ভাবনার যোগফল ১ হতে হবে।

Σ f(x) = 1

অর্থাৎ X-এর সব সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনা যোগ করলে মোট ১ হবে।

৬. Discrete Probability Distribution কী?

Random Variable-এর সম্ভাব্য মানগুলি এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাগুলিকে একসঙ্গে সারণি বা তালিকায় প্রকাশ করলে তাকে Discrete Probability Distribution বলে। বাংলায় একে বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বণ্টন বলা হয়।

উদাহরণ: দুটি সুষম কয়েন ছোড়া

দুটি কয়েন ছুড়ে X = মোট Head-এর সংখ্যা ধরা হলো। চারটি সমান সম্ভাবনাযুক্ত ফল পাওয়া যায়: HH, HT, TH ও TT।

ফল	X = Head-এর সংখ্যা	সম্ভাবনা
TT	0	1/4
HT	1	1/4
TH	1	1/4
HH	2	1/4

এখানে X = ১ হওয়ার দুটি উপায় রয়েছে: HT এবং TH। তাই P(X = 1) = ২/৪ = ১/২।

X	0	1	2	মোট
P(X = x)	1/4	1/2	1/4	1

যাচাই করি:

1/4 + 1/2 + 1/4 = 1

অতএব, এটি একটি সঠিক Discrete Probability Distribution।

৭. Mean বা প্রত্যাশিত গড় কী?

আমরা সাধারণ অঙ্কে কয়েকটি সংখ্যার গড় বের করতে শিখেছি। Probability-তে Mean-এর ধারণাটি তার সঙ্গে সম্পর্কিত, তবে এখানে প্রতিটি মানের সম্ভাবনাও বিবেচনা করা হয়।

Random Variable X-এর Mean-কে E(X) বা μ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

μ = E(X) = Σ x P(X = x)

সহজ ভাষায়, প্রতিটি সম্ভাব্য মানকে তার সম্ভাবনা দিয়ে গুণ করে সবগুলি যোগ করতে হবে।

উদাহরণ: দুটি কয়েনে Head-এর সংখ্যা

আমাদের Probability Distribution ছিল:

X	P(X = x)	x × P(X = x)
0	1/4	0
1	1/2	1/2
2	1/4	1/2
মোট	1	1

সুতরাং,

E(X) = 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 2 × 1/4 = 1

অর্থাৎ Mean = ১। অনেকবার দুটি সুষম কয়েন ছুড়লে প্রতি পরীক্ষায় গড়ে ১টি Head পাওয়ার প্রত্যাশা করা যায়। কিন্তু প্রত্যেকবার ঠিক ১টি Head উঠবেই, এমন নয়।

৮. Variance বা বিচরণ কী?

Mean জানায় গড় কত। কিন্তু সম্ভাব্য মানগুলি সেই গড়ের কাছাকাছি আছে, নাকি অনেক দূরে ছড়িয়ে আছে, তা জানার জন্য Variance ব্যবহার করা হয়। বাংলায় একে বিচরণ বলা হয়।

সহজভাবে ভাবো, তোমার তিন বন্ধুর নম্বর ৪৯, ৫০ ও ৫১। তাদের নম্বর গড়ের খুব কাছাকাছি। কিন্তু অন্য তিন বন্ধুর নম্বর ১০, ৫০ ও ৯০ হলে নম্বরগুলি অনেক বেশি ছড়ানো। Variance এই ছড়িয়ে থাকার পরিমাণ বোঝাতে সাহায্য করে।

Variance-এর সূত্র

Var(X) = σ² = Σ (x − μ)² P(X = x)

এখানে:

• x = Random Variable-এর একটি সম্ভাব্য মান
• μ = Mean
• (x − μ) = মানটি গড় থেকে কত দূরে
• (x − μ)² = সেই দূরত্বের বর্গ

আরও একটি সুবিধাজনক সূত্র হলো:

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

উদাহরণ: দুটি কয়েন ছোড়ার Variance

আমরা জানি, X-এর মান ০, ১ ও ২ এবং তাদের সম্ভাবনা যথাক্রমে ১/৪, ১/২ ও ১/৪। Mean = ১।

x	P(X = x)	(x − 1)²	(x − 1)²P(X = x)
0	1/4	1	1/4
1	1/2	0	0
2	1/4	1	1/4
মোট			1/2

সুতরাং,

Var(X) = 1/4 + 0 + 1/4 = 1/2 = 0.5

অতএব, Variance = ০.৫।

মনে রাখবে: Variance কখনও ঋণাত্মক হয় না। সব সম্ভাব্য মান যদি একই হয়, তাহলে Variance শূন্য হবে। Variance যত বেশি, মানগুলির গড় থেকে বিচ্যুতি সাধারণত তত বেশি।

৯. Standard Deviation বা প্রমাণ বিচ্যুতি কী?

Standard Deviation হলো Variance-এর বর্গমূল। বাংলায় একে প্রমাণ বিচ্যুতি বলা হয়। এটি গড়ের তুলনায় মানগুলি কতটা ছড়িয়ে রয়েছে, তার একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ।

σ = √Var(X)

অথবা,

σ = √[Σ (x − μ)² P(X = x)]

উদাহরণ: দুটি কয়েনের Standard Deviation

আমরা আগেই পেয়েছি:

Var(X) = 0.5

তাই,

σ = √0.5 ≈ 0.707

অর্থাৎ Standard Deviation প্রায় ০.৭০৭।

Standard Deviation এবং Variance এক নয়। Variance হলো বিচ্যুতির বর্গের সম্ভাবনা-ওজনযুক্ত গড়, আর Standard Deviation হলো সেই Variance-এর বর্গমূল। Standard Deviation-এর একক মূল চলকের এককের মতোই হয়।

১০. একটি পাশা দিয়ে Mean, Variance ও Standard Deviation

এবার একটি সুষম ছয়-মুখী পাশা ছোড়া হলো। X হলো উপরের পিঠে ওঠা সংখ্যা। X-এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬ এবং প্রতিটির সম্ভাবনা ১/৬।

X	P(X = x)	x²	x²P(X = x)
1	1/6	1	1/6
2	1/6	4	4/6
3	1/6	9	9/6
4	1/6	16	16/6
5	1/6	25	25/6
6	1/6	36	36/6
মোট	1		91/6

ধাপ ১: Mean বের করি

μ = E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5

ধাপ ২: Variance বের করি

আমরা জানি:

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

এখানে E(X²) = ৯১/৬ এবং E(X) = ৩.৫।

Var(X) = 91/6 − (3.5)²

Var(X) = 91/6 − 49/4 = 35/12 ≈ 2.917

ধাপ ৩: Standard Deviation বের করি

σ = √(35/12) ≈ 1.708

পাশার ফলাফল এক নজরে:

• Mean = ৩.৫
• Variance = ৩৫/১২ ≈ ২.৯১৭
• Standard Deviation ≈ ১.৭০৮

১১. গুরুত্বপূর্ণ সূত্র একসঙ্গে

বিষয়	সূত্র
Probability Function	f(x) = P(X = x)
সম্ভাবনার শর্ত	Σ P(X = x) = 1
Mean	μ = E(X) = Σ xP(X = x)
দ্বিতীয় মুহূর্ত	E(X²) = Σ x²P(X = x)
Variance	σ² = E(X²) − [E(X)]²
Standard Deviation	σ = √Var(X)

১২. ছোট্ট কুইজ: নিজে চেষ্টা করো

প্রশ্ন ১: একটি সুষম কয়েন ছুড়লে Head-এর সম্ভাবনা কত?

ক) ০   খ) ১/২   গ) ১

প্রশ্ন ২: দুটি কয়েন ছুড়ে X = Head-এর সংখ্যা হলে X-এর সম্ভাব্য মান কী?

ক) ১, ২   খ) ০, ১, ২   গ) ০, ১, ২, ৩

প্রশ্ন ৩: একটি Probability Distribution-এ সব সম্ভাবনার যোগফল কত?

ক) ০   খ) ১   গ) ১০

প্রশ্ন ৪: Variance-এর বর্গমূলকে কী বলে?

ক) Mean   খ) Probability   গ) Standard Deviation

প্রশ্ন ৫: দুটি কয়েনে Head-এর সংখ্যা X হলে তার Mean কত?

ক) ০.৫   খ) ১   গ) ২

উত্তর দেখতে এখানে ক্লিক করো

1. খ) ১/২
2. খ) ০, ১, ২
3. খ) ১
4. গ) Standard Deviation
5. খ) ১

১৩. শেষবারের মতো সহজ করে মনে রাখি

• Random Experiment: যে পরীক্ষার ফল আগে থেকে নিশ্চিত নয়।
• Random Variable: পরীক্ষার ফলকে সংখ্যা দেওয়ার নিয়ম।
• Probability Function: প্রতিটি সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনা প্রকাশ করার ফাংশন।
• Probability Distribution: সব সম্ভাব্য মান ও তাদের সম্ভাবনার তালিকা।
• Mean: সম্ভাবনা অনুযায়ী প্রত্যাশিত গড়।
• Variance: গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের সম্ভাবনা-ওজনযুক্ত গড়।
• Standard Deviation: Variance-এর বর্গমূল।

মনে রেখো, গণিত শেখার সবচেয়ে ভালো উপায় হলো ছোট ছোট উদাহরণ নিজে সমাধান করা। একটি কয়েন বা পাশা নিয়ে পরীক্ষা করো, সম্ভাব্য ফলগুলি লেখো এবং তারপর তাদের Probability Distribution তৈরি করো। এভাবেই Random Variable and Its Distribution ধীরে ধীরে খুব সহজ হয়ে উঠবে।

শিক্ষামূলক নোট: এই পোস্টটি শিক্ষার্থীদের প্রাথমিক ধারণা পরিষ্কার করার জন্য সহজ ভাষায় তৈরি।